1

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 是正项级数，证明：级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(u_n+u_{n+1})}$ 与级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 同敛散。

先证明收敛，假设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛，那么其部分和数列 ${\displaystyle \{S_n\}}$ 极限一定存在。从而：

上述级数显然是收敛的，同时也是发散的。

2

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 是收敛的正项级数，证明：级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{2n}}$ 和 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{2n-1}}$ 收敛。

先证明偶数项级数收敛：

由 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛可知 ${\displaystyle \mathrm{\exists }m,u_1+u_2+\cdots +u_m=S_m}$ 的极限是存在的，我们取 ${\displaystyle m=2n}$，就可以得到 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{2n}}$ 是收敛的。现在要证明 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{2n-1}}$，同理可得：

显然，级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_{2n-1}}$ 也收敛。

3

4

判断级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln n(n+1{)}^a(n+2{)}^b}$ 的敛散性。

我们使用泰勒展开求该级数的敛散性。

5

判断敛散性 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\sqrt[6]{n^2+n+1}-\sqrt[3]{n})}$。

6

判断级数 ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt[3]{n^5+n+1}\cdot \ln n}}$ 的敛散性。

7

判断级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n[2+(-1{)}^n{]}^n}{4^n}}$ 的敛散性。

8

设正项级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 的部分和为 ${\displaystyle S_n}$，证明：级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-S_n}}$ 收敛。

这道题可以使用定义法配合积分判别法的思路进行求解。

由于 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 是正项级数，故而 ${\displaystyle S_n}$ 一定是递增的，从而 ${\displaystyle e^{-S_n}}$ 是递减的。于是可以进行放缩：

从而该数列部分和有界，故而该级数收敛。

9

判断级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{(n+1)(n+2)}}$ 的敛散性。

10

设 ${\displaystyle u_n\ne 0(n=1,2,3,\dots )}$，且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{u_n}=1}$，判断级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\left(\frac{1}{u_n+u_{n+1}}\right)}$ 是否具有敛散性。

11