压缩映射

数列 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 满足：${\displaystyle m\le x_n\le M}$，${\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)}$，当 ${\displaystyle x\in [m,M]}$，${\displaystyle \mid f^{\prime }(x)\mid <k<1}$，若 a 是方程 ${\displaystyle x=f(x)}$ 在区间 ${\displaystyle [m,M]}$ 内的一个根，则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a}$。

1. 在 ${\displaystyle [m,M]}$ 上，${\displaystyle \mid f^{\prime }(x)\mid <k<1}$ 可换成对于任意 ${\displaystyle x,y\in [m,M]}$，都有 ${\displaystyle \mid f(x)-f(y)\mid <k\mid x-y\mid }$；
2. 在 ${\displaystyle [m,M]}$ 上，${\displaystyle \mid f^{\prime }(x)\mid <k<1}$ 不可换成在 ${\displaystyle [m,M]}$ 上，${\displaystyle \mid f^{\prime }(x)\mid <1}$. 也不可换成 ${\displaystyle \mid f^{\prime }(x)\mid <k(x)<1}$；