不等式放缩

• ${\displaystyle f(x)\le g(x)}$，若 ${\displaystyle g(x)}$ 收敛，则 ${\displaystyle f(x)}$ 一定收敛；
• ${\displaystyle f(x)\ge g(x)}$，若 ${\displaystyle g(x)}$ 发散，则 ${\displaystyle f(x)}$ 一定发散；

极限形式

设非负函数 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,+\mathrm{\infty }]}$ 上连续， ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda }$：

• 当 ${\displaystyle \lambda \ne 0}$ ，${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 与 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)dx}$，同敛散。故而我们可以将 ${\displaystyle f(x)}$ 通过无穷小替换替换为 ${\displaystyle g(x)}$ 从而判断敛散性；
• ${\displaystyle \lambda =0}$，若 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)dx}$ 收敛，则 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ 收敛；
• ${\displaystyle \lambda =\mathrm{\infty }}$，若 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)dx}$ 发散，则 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx}$，发散；
  以上情况对于无界函数的反常积分一样成立。

特别的，我们通常用第一个结论，即将 ${\displaystyle f(x)}$ 转化为 p 积分，再根据结论进行判断，p 积分如下：

两个 p 积分在 ${\displaystyle p=1}$ 时必然发散。

第一个 p 积分在 ${\displaystyle p>1}$ 时收敛，${\displaystyle p\le 1}$ 时发散。

第二个 p 积分在 ${\displaystyle p<1}$ 时收敛，${\displaystyle p\ge 1}$ 时发散。