复合根式

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设 ${\displaystyle Q_m(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{m-1}{x}^{m-1}+a_m{x}^m}$。其中 ${\displaystyle n>m}$.
形如 ${\displaystyle \sqrt[k]{Q_m(x)}}$ 的泰勒展开，可以分为以下步骤：

1. 变形：
   • 若 ${\displaystyle x\to \mathrm{\infty }}$ 先将其变形为 ${\displaystyle \sqrt[k]{a_n{x}^n}\cdot \sqrt[k]{1+\frac{a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{m+1}{x}^{m+1}+a_m{x}^m}{a_n{x}^n}}}$；
   • 若 ${\displaystyle x\to 0}$，则做变形 ${\displaystyle \sqrt[k]{a_m{x}^m}\cdot \sqrt[k]{\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{m+1}{x}^{m+1}}{a_m{x}^m}+1}}$；
2. 然后根据以下泰勒展开式展开：
   原理：对于任意的 ${\displaystyle A=f_m(x)\to 0}$，都有 ${\displaystyle \sqrt[k]{1+A}=(1+k{)}^{\frac{1}{k}}=1+\frac{1}{k}A+\frac{\left(\frac{1}{k}(\frac{1}{k}-1)\right)}{2}{A}^2+\dots }$。

例如，对于 ${\displaystyle \sqrt[3]{x^2+x^4}}$。

对数复合

对于 ${\displaystyle \ln Q_m(x)}$，若 ${\displaystyle Q_m(x)\to a\cap a\ne 1}$，那么就可以做分为如下步骤泰勒展开：

1. ${\displaystyle x\to +\mathrm{\infty },\ln (a_n{x}^n+\cdots +a_m{x}^m)=\ln (a_n{x}^n)+\ln (1+\frac{a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_m{x}^m}{a_n{x}^n})}$；
2. ${\displaystyle x\to 0^{+},\ln (a_n{x}^n+\cdots +a_m{x}^m)=\ln (a_m{x}^m)+\ln (\frac{a_n{x}^n+\cdots +a_{m+1}{x}^{m+1}}{a_m{x}^m}+1)}$；
3. 然后根据< obsidian-uri > 展开即可。

幂指函数

如果函数 ${\displaystyle f\to a(a>0)}$，则 f 可以写成指数函数的泰勒展开，即通过 ${\displaystyle e^x}$ 的泰勒展开式。

这种方法特别适用于解决形如 ${\displaystyle x^x,(\sin x{)}^x,(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}$ 的极限问题。