常见泰勒展开

$x \in (- \infty, + \infty), e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})$ ；
$x \in (- \infty, + \infty) \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{(- 1)^{n - 1} (x^{2 n - 1})}{(2 n - 1)!} + o (x^{2 n - 1})$ ；
$x \in (- \infty, + \infty) \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \dots + (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + o (x^{2 n})$ ；
$x \in (- 1, 1], \ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})$ ；
{ #sub}
42 b
$x \in (- 1, 1), (1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) (α - 2) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + o (x^{n})$ ；
$x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), \tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + \frac{17}{315} x^{7} + \dots + \frac{B_{2 n} (- 4)^{n} (1 - 4^{n})}{(2 n)!} x^{2 n - 1} + o (x^{2 n - 1})$ ；
$(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e - \frac{e}{2} x + \frac{11}{24} e x^{2} + o (x^{2})$ .