定义

已知 ${\displaystyle x_n\to a}$，且 ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle ⟹}$ 当 ${\displaystyle n}$ 充分大时，恒有 ${\displaystyle x_n>0}$，反之亦然。

注意以下几种形式都是不成立的：

反例：

1. ${\displaystyle x_n=(-1{)}^n\frac{1}{n}}$；
2. ${\displaystyle x_n=\frac{1}{n}}$，其数列恒大于 0，但是极限等于 0；

推论

• 已知 ${\displaystyle x_n\to a}$，${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle ⟹}$ 当 ${\displaystyle n}$ 充分大时，恒有 ${\displaystyle x_n>b}$；

• 已知 ${\displaystyle x_n\to a}$，当 ${\displaystyle n}$ 充分大时，恒有 ${\displaystyle x_n>0⟹a\ge 0}$；

• 已知 ${\displaystyle x_n\to a}$，当 ${\displaystyle n}$ 充分大时，恒有 ${\displaystyle x_n\ge 0⟹a\ge 0}$；