无穷区间上的反常积分

当积分的上限或下限是无穷大时，我们定义反常积分如下：

• 无穷上限的积分：如果我们要计算 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$，我们定义它为：
  ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx$
  只有当这个极限存在时，反常积分才被认为是收敛的。

• 无穷下限的积分：类似地，${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{a}f(x)dx$ 定义为：
  ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{a}f(x)dx=\underset{b\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_b^{a}f(x)dx$

• 双侧无限的积分：对于 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$，我们通常需要分两部分来定义：
  ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{c}f(x)dx+{\int }_c^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$
  其中 $c$ 是任意实数，每部分的积分都必须单独收敛。