1

证明：若 $A$ 为不可逆矩阵，那么有 ${\displaystyle r(A^{\ast })+r(A)\le n}$.

A 是不可逆矩阵故而有 ${\displaystyle r(A)<n,|A|=0}$. 从而有 ${\displaystyle A^{\ast }A=|A|\cdot E=0}$。我们将 ${\displaystyle A}$ 展开乘列向量的形式：${\displaystyle A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]}$，进一步有：

从而 ${\displaystyle {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n}$ 都是 ${\displaystyle A^{\ast }x=0}$ 解，同理可得 ${\displaystyle {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n}$ 也是 ${\displaystyle Ax=0}$ 的解.

设 ${\displaystyle {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n}$ 的极大无关组为 ${\displaystyle \alpha ,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s}$ ，由矩阵的秩的定义可知，${\displaystyle r(A)=s}$。而极大无关组必然线性无关的，故而有 ${\displaystyle A^{\ast }x=0}$ 的基础解系向量个数 ${\displaystyle \ge s}$。从而有：

于是，证毕。

2

证明：${\displaystyle r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)<n-1\end{array}}$. （可以使用结论：若 $A$ 为不可逆矩阵，那么有 ${\displaystyle r(A^{\ast })+r(A)\le n}$）

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当 ${\displaystyle r(A)=n}$ 时，证明矩阵 A 可逆，那么就有 ${\displaystyle A^{\ast }\frac{A}{|A|}=E}$，可知 ${\displaystyle A^{\ast }}$ 的逆矩阵为 ${\displaystyle \frac{A}{|A|}}$，逆矩阵之间的秩一定是相同的。故而有：

2

由伴随矩阵的定义可知，伴随矩阵是代数余子式的组合，其为 ${\displaystyle n-1}$ 阶矩阵，由于 ${\displaystyle r(A)=n-1}$ ，那么由矩阵的秩的定义可知，至少存在一个大于 0 的子式，于是伴随矩阵就一定有一个元素是不为 0 的，那么根据伴随矩阵的定义就有 ${\displaystyle r(A^{\ast })\ge 1}$，从而：

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由于 ${\displaystyle r(A)<n-1}$，那么所有的 n-1 阶子式都为 0，余子式也就为 0，故而伴随矩阵一定是 0 矩阵，所以矩阵的秩为 0.

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设 ${\displaystyle A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)}$ 是 4 阶矩阵，若 ${\displaystyle (1,0,1,0{)}^T}$ 是方程组 ${\displaystyle Ax=0}$ 的一个基础解系，证明 ${\displaystyle A^{\ast }x=0}$ 其中一个基础解系是 ${\displaystyle {\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4}$。

${\displaystyle Ax=0}$ 的基础解系只有一个解，故而可知 ${\displaystyle n-r(A)=1}$ ，得到 ${\displaystyle r(A)=3}$。由于，${\displaystyle r(A)=n-1}$，从而有 ${\displaystyle r(A^{\ast })=1}$。故而 ${\displaystyle A^{\ast }x=0}$ 对应的基础解系有三个解。然后，我们：

可以得到 ${\displaystyle {\alpha }_1=-{\alpha }_3}$。又因为 ${\displaystyle r(A)=3}$，故而 ${\displaystyle r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=r({\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=r(A)=3}$。所以，${\displaystyle {\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4}$ 的一个极大线性无关组为 ${\displaystyle {\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4}$.

又因为 ${\displaystyle A{A}^{\ast }=0}$，那么有：

从而可以得到 ${\displaystyle [{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]}$ 是 ${\displaystyle A^{\ast }x=0}$ 的解。所以，${\displaystyle {\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4}$ 是 ${\displaystyle A^{\ast }x=0}$ 的基础解系。

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证明：若 A 的各行之和均为 k，则 ${\displaystyle A^{\ast }}$ 的各行之和均为 ${\displaystyle \frac{|A|}{k}}$。