61

求 ${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{e^x{\sin }^{2}x}{1+e^x}dx}$.

注意到分母为：${\displaystyle \frac{1}{1+a^x}}$ 的变形，考虑使用区间再现公式，我们暂时省略积分上下限符号：

62

求 ${\displaystyle {\int }_0^1\ln (1-x+x^2)\arcsin \sqrt[]{x}dx}$。

联想到公式：

故而考虑使用区间再现公式：

接着再使用分部积分解有理函数积分即可得出答案，我们构造：

接下来我们就可以通过三角代换求出最终答案。

63

求 ${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{x\sin x\arctan e^x}{1+{\cos }^{2}x}dx}$。

看到积分中的 ${\displaystyle \arctan e^x}$，联想到公式 ${\displaystyle \arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2},(x>0)}$，又因为其余部分为偶函数，故而做区间再现：

我们想要消去 x ，故而可以考虑再次使用区间再现公式：

64

求 ${\displaystyle {\int }_0^2\frac{x}{e^x+e^{2-x}}dx}$。

注意到分母出现了 ${\displaystyle f(x)+f(a+b-x)}$ 的形式，又有分子为 x 这个矛盾因子，故而肯定是使用区间再现公式消去：

于是答案就显而易见了。

65

求 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{x{\sin }^{3}x}{1+{\cos }^{2}x}dx}$。

我们要消去 x ，并且注意到 ${\displaystyle \sin x}$ 关于 ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$ 对称，故而使用区间再现：

接下来答案就显而易见了。

66

求 ${\displaystyle {\int }_0^{n\pi }x\mid \sin x\mid dx}$。

没有什么好的办法求出原函数（也可以考虑使用符号积分的方法），考虑使用区间再现：

67

68

求 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \sin xdx}$。

最开始的想法一定是分部积分：

但是问题是，我们无法消去 x，哪怕是通过区间再现。故而，我们可以直接考虑使用区间再现公式：

现在就是要求 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \sin 2xdx}$。为了方便，我们设 ${\displaystyle t=2x}$，则有 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \sin 2xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\ln \sin tdt}$。设 ${\displaystyle J={\int }_0^{\pi }\ln \sin xdx}$，则我们可以通过分部积分进一步计算：

我们会发现分部积分还是没有效果，我们就要发掘，${\displaystyle \ln \sin x}$ 的其他性质，我们可以发现，${\displaystyle \ln \sin x}$ 关于 ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$ 对称，故而有：

故而有：

69

求 ${\displaystyle I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan \sqrt[3]{x}}{x^2+1}dx}$。

注意到分母有 ${\displaystyle 1+x^2}$，故而使用倒代换：

70

求 ${\displaystyle I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^2+a^2}dx}$。

很明显不能求原函数，又注意到分母为 ${\displaystyle 1+x^2}$ 的变形，故而先将变换为 ${\displaystyle 1+x^2}$：

故而有：

然后我们再对 ${\displaystyle \frac{\ln t}{t^2+1}}$ 进行倒代换：

71

设 ${\displaystyle f(x)}$ 为连续函数，${\displaystyle a,b}$ 为常数且 ${\displaystyle a^2+b^2\ne 0}$，若 ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }f(a\sin x+b\cos x)dx=A{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}f(\sqrt[]{a^2+b^2}\sin x)dx}$，求 ${\displaystyle A}$。

很明显，我们需要将左式尝试变换到右式，需要使用和角公式进行变换：

设 ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt[]{a^2+b^2}}=\cos \theta ,\frac{b}{\sqrt[]{a^2+b^2}}=\sin \theta }$，则有：

我们通过函数平移操作来统一被积函数的形式：

又由于被积函数的内层函数，周期为 ${\displaystyle 2\pi }$，故而有：

可以发现我们只需要将区间分开，就可以得到原式：

根据 ${\displaystyle \sin x}$ 的图像可知，其在 ${\displaystyle x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})}$ 上关于 ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$ 对称，所以右式两个积分实际上是相等的。故而有：

故而，${\displaystyle A=2}$。

72

已知 ${\displaystyle {\int }_0^{1}dx{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}xf(\sin y)dy=1}$，求 ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }f(\cos x)dx}$。

直接将这个二重积分解开，得到：

我们尝试将待求积分表示为已知条件的形式，先将 cos 转化为 sin，由于 ${\displaystyle \cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x}$，故而设 ${\displaystyle t=\frac{\pi }{2}-x}$：

由于内层函数关于 ${\displaystyle x=-\frac{\pi }{2}}$ 对称，故而右式两个积分相等，即：

73

设 ${\displaystyle f(x)={\int }_1^{\sqrt[]{x}}{e}^{-t^2}dt}$，求 ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt[]{x}}dx}$。

注意到， ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 的形式便于求积分，故而通过分部积分法，通过变上限积分的求导公式，得到 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{e^{-x}}{2\sqrt[]{x}}}$，故而有：

74

设 ${\displaystyle y^{\prime }(x)=\arctan (x-1{)}^2}$，且 ${\displaystyle y(0)=0}$，求 ${\displaystyle {\int }_0^{1}y(x)dx}$。

我们使用分部积分对被积函数进行降次：

发现，出现了 ${\displaystyle y(1)}$ 这个无法求出的量，我们发现之所以消不去是因为，代入 1 的时候 x 不为 0 ，故而我们对分部积分法进行改造：

于是，我们就可以求出最终答案了：

75

已知 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }[f(x)+f^{″}(x)]\sin xdx=5}$，且 ${\displaystyle f(\pi )=2}$，求 ${\displaystyle f(0)}$。

先将两个未知函数形式分开：

利用表格积分法对积分 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{f}^{″}(x)\sin xdx}$：

从而得到：

76

求曲线 ${\displaystyle y=e^{-x}\sin x(x>0)}$ 与 x 轴之间的面积。（2019）

求面积就是求积分 ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mid \sin x\mid dx}$。我们根据 ${\displaystyle \sin x}$ 的正负进行分类讨论，从而对整个积分区间进行划分，这里我们为了划分方便，我们将 ${\displaystyle \mid \sin x\mid }$ 改写为 ${\displaystyle (-1{)}^k\sin x}$，故而有：

由等比数列的累加和公式得：

故而最后的答案就显而易见了。

77

求函数 ${\displaystyle f(t)={\int }_{-1}^1\mid x-t\mid e^{2x}dx,(|t|\le 1)}$ 的最大值。

要想去掉绝对值，就要讨论 ${\displaystyle x,t}$ 的大小关系，从而划分积分区间：

接下来可以利用表格积分法求各个被积函数的原函数：

由于该导函数是单调递增所以我们代入两个端点：

因此 ${\displaystyle f(x)}$ 必然形如 ${\displaystyle y=x^2}$，故而最值必定在两个端点处，我们需要对比 ${\displaystyle f(1),f(-1)}$ 的大小：

从而最大值为 ${\displaystyle \frac{3e^2+e^{-2}}{4}}$。

78

求 ${\displaystyle I={\int }_0^{\frac{\ln n}{\ln 2}}[2^x]dx}$。

设 ${\displaystyle [2^x]=k}$，那么有 ${\displaystyle k\le 2^x<k+1}$，${\displaystyle \frac{\ln k}{\ln 2}\le x<\frac{\ln (k+1)}{\ln 2}}$。从而，我们可以通过讨论 k，来进行区间划分：

于是，我们可以通过凑差分，来求这个级数：

79

已知 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}}$，求 ${\displaystyle {\int }_0^{1}x\{\frac{1}{x}\}dx}$。

我们可以通过变换 ${\displaystyle \left\{\frac{1}{x}\right\}=\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]}$ 转化为求取整函数的积分：

设 ${\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right]=k}$，那么有 ${\displaystyle k\le \frac{1}{x}<k+1}$，${\displaystyle \frac{1}{k+1}<x\le \frac{1}{k}}$，从而可以将上述积分划分为：

我们使用差分的方法求这个级数：